8 Mayıs 1975'te İstanbul'da dünyaya gelen Mehmet Günsür'ün babası Teoman Günsür kuantum fizikçisi, annesi Sibel Günsür ise Boğaziçi Üniversitesi Yabancı Diller Yüksek Okulu'nda Almanca üzerine öğretim üyesiydi. Ablası Zeynep Günsür Yüceil ise koreograf ve akademisyendir. Mehmet Günsür İtalyan Lisesi'nde okudu. Liseden sonra Marmara Üniversitesi Reklamcılık Bölümü'nde okumuş olmasına rağmen bu sektörde hiç çalışmamıştır. Aslında çocuk yaşta kameralar karşısına geçmiş olsa da Hamam filmine kadar oyunculuğu profesyonel olarak yapmayı düşünmemiştir. Hatta 25 yaşına kadar oyunculuk eğitimi almamıştır.

Ciddi anlamdaki ilk oyunculuk denemesi ise TRT'de yayınlanan 1988 tarihli 'Geçmiş Zaman Mimozoları' dizisidir. Burada evin gözlüklü küçük oğlu Sabih'i canlandıran Mehmet, uzunca bir süre oyunculuktan uzak kaldı. Bu dönemde Roxy isimli mekanın restoranını da işleten Mehmet'in yönetmen Ferzan Özpetek ile tanışması da yine buradaki işi sırasında olmuştur.

Yine bu yıllarda hiçbir mekanda çalma şansını elde edemeyen The Dawn isimli müzik grubunun üyeleri arasında da yer alan Mehmet Günsur için milat 1997 tarihli 'Hamam' filmi olmuştur. Bu filmin ardından kariyerini oyunculuk yönünde geliştirmeye karar veren Mehmet Günsur bu tarihten sonra birçok film,dizi ve oyunda yer almıştır.

Muhteşem Yüzyıl dizisinde Şehzade Mustafa rolüyle izleyenlerin kalbinde taht kuran Günsür, rol icabı öldüğü bölümde milyonlarca insan tarafından izlendi ve sosyal medyada en çok konuşulan isimlerden biri oldu.

2006 yılından bu yana İtalyan belgeselci Caterina Mongio ile evli olan ve yaşamını Roma'da sürdüren Günsür'ün Ali adlı bir oğlu Maya ve Cloe adında 2 kız, toplam 3 çocuğu bulunmaktadır.